Question

14．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，都有f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，且当x∈（0，$\frac{3}{2}$]时，f（x）=log₂（2x+1），则f（-2015）+f（2013）=log₂3．

Answer 1

分析 由已知f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，求出函数f（x）的周期，利用已知函数的解析式求解函数值即可．

解答 解：由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），再由条件当x＞0时，都有f（　　）f（x）=2014，
可得f（x+$\frac{3}{2}$）=$\frac{2014}{f（x）}$，
所以，f（3+x）=$\frac{2014}{f（x+\frac{3}{2}）}$=$\frac{2014}{\frac{2014}{f（x）}}$=f（x）．函数的周期是3，
当x∈（0，$\frac{3}{2}$]时，f（x）=log₂（2x+1），
所以，f（-2015）+f（2013）
=-f（2015）+f（2013）
=-f（671×3）+f（671×3）
=-f（2）+f（0）
=-f（-1）
=f（1）
=log₂3．
故答案为：log₂3．

点评 本题主要考察函数奇偶性的性质，函数的周期，函数值的求法，属于中档题．