Question

9．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程为x+$\sqrt{3}$y=0．且焦点到相应准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析 根据渐近线方程可以设出双曲线方程为x²-3y²=k，可看出需讨论k：k＞0时，可得到${a}^{2}=k，{b}^{2}=\frac{k}{3}，{c}^{2}=\frac{4k}{3}$，从而可得到准线方程为$x=±\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}$，这样根据焦点到相应准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$便可得到$\sqrt{\frac{4k}{3}}-\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而解出k便可得出双曲线方程，同样的方法可求出k＜0时的双曲线方程．

解答 解：设双曲线的方程为x²-3y²=k；
①若k＞0，则a²=k，${b}^{2}=\frac{k}{3}$，${c}^{2}=\frac{4k}{3}$，∴准线方程为x=±$\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}$；
∴$\sqrt{\frac{4k}{3}}-\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
解得k=9；
∴双曲线方程为x²-3y²=9；
②若k＜0，则${a}^{2}=-\frac{k}{3}$，b²=-k，${c}^{2}=-\frac{4k}{3}$，∴准线方程为y=$±\frac{-\frac{k}{3}}{\sqrt{-\frac{4k}{3}}}$；
∴$\sqrt{-\frac{4k}{3}}-\frac{-\frac{k}{3}}{\sqrt{-\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
解得k=-1；
∴双曲线方程为x²-3y²=-1．
综上所述，双曲线方程为x²-3y²=9或x²-3y²=-1．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程及其求法，双曲线的焦点和准线，以及准线方程．