Question

5．设函数f_n（x）=n²x²（1-x）ⁿ（n为正整数），则f_n（x）在[0，1]上的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． （1-$\frac{2}{2+n}$）ⁿ
• D． 4（$\frac{2}{2+n}$）ⁿ⁺²

Answer 1

分析 对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=$\frac{2}{n+2}$取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．

解答 解：f′（x）=2n²x（1-x）ⁿ-n×n²x²（1-x）^n-1
=n²x（1-x）^n-1（2-2x-nx）=-n²x（1-x）^n-1[（n+2）x-2]=0
得x=0，或x=1，或x=$\frac{2}{n+2}$
f（x）在（0，$\frac{2}{n+2}$）上单调递增，在（$\frac{2}{n+2}$，1）上单调递减，
∴f（x）在[0，1]上的最大值为4（$\frac{2}{2+n}$）ⁿ⁺²．
故选：D．

点评 此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．