Question

已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S_△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用A，B是定点，△ABC周长为16，可知点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去与x轴的两个交点），故可求轨迹方程；
（2）显然OM，ON斜率均存在．分别求出OM，ON的长，进而可表示面积，利用基本不等式可求S_△MON的最小值
（3）要证点P一定在定圆上，可证，OP为定长，从而得解．

解答：解：（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b²=a²-c²=16
∴点C的轨迹为：

x2

25

+

y2

16

=1  (y≠0)
（2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-

1

k

x
联立OM与L可知：

x2

25

+

k2x2

16

=1⇒x2=

1

1 25 + k2 16

∴|OM|=

1+k2

•|x|=

1+k2 1 25 + k2 16

同理|ON|=

1+ 1 k2 1 25 + 1 16k2

=

1+k2 1 25 k2+ 1 16

∴S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

(1+k2)2 ( 1 25 + k2 16 )( k2 25 + 1 16 )

≥

1

2

•

1+k2

1 25 + k2 16 + k2 25 + 1 16 2

=

400

41

当且仅当：

1

25

+

k2

16

=

k2

25

+

1

16

时取“=”即k=±1时取“=”
∴S_△MON的最小值为

400

41

（3）由已知：|MN|=

|OM|2+|ON|2

=

1+k2 1 25 + k2 16 + 1+k2 k2 25 + 1 16

∴|OP|=

|OM|•|ON|

|MN|

=

1+k2 1 25 + k2 16 • 1+k2 1 25 k2+ 1 16

1+k2 1 25 + k2 16 + 1+k2 k2 25 + 1 16

=

400 41

=

20 41

41

∴点P一定在定圆x2+y2=

400

41

上．

点评：本题以三角形为载体，考查椭圆的方程，考查轨迹问题，考查利用基本不等式解决三角形的面积最小值，有一定的综合性．