【题目】为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为200m,圆心角为的扇形地上建造市民广场,规划设计如图:内接梯形
区域为运动休闲区,其中A,B分别在半径
,
上,C,D在圆弧
上,
;上,
;
区域为文化展区,
长为
,其余空地为绿化区域,且
长不得超过200m.
(1)试确定A,B的位置,使的周长最大?
(2)当的周长最长时,设
,试将运动休闲区
的面积S表示为
的函数,并求出S的最大值.
【答案】(1)、
都为50m;(2)
;
;最大值为
.
【解析】
对于(1),设,
,m,
,在△OAB中,利用余弦定理可得
,整理得
,结合基本不等式即可得出结论;
对于(2),当△AOB的周长最大时,梯形ACBD为等腰梯形,过O作OF⊥CD交CD于F,交AB于E,则E、F分别为AB,CD的中点,利用已知可表示出相关线段;然后利用梯形的面积公式可知, ,
,令
,
,,结合导数,确定函数的单调性,即可求出S的最大值。
解:(1)设,
,m,
,
在中,
,
即.
所以.
所以,当且仅当
时,
取得最大值,
此时周长取得最大值.
答:当、
都为50m时,
的周长最大.
(2)当的周长最大时,梯形
为等腰梯形.
如上图所示,过O作交
于F,交
于E,则E、F分别为
、
的中点,
所以.由
,得
.
在中,
,
.
又在中,
,故
.
所以
,
.
令,
,
,
.
又及
在
上均为单调递减函数,
故在
上为单调递减函数.
因,故
在
上恒成立,
于是,在
上为单调递增函数.
所以当时,
有最大值,此时S有最大值为
.
答:当时,梯形
面积有最大值,且最大值为
.
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【题目】供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量分为
,
,
,
,
五组,整理得到如下的频率分布直方图,则下列说法错误的是
A. 月份人均用电量人数最多的一组有
人
B. 月份人均用电量不低于
度的有
人
C. 月份人均用电量为
度
D. 在这位居民中任选
位协助收费,选到的居民用电量在
一组的概率为
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【题目】如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况,其中A表示订阅数学学习资料的学生,B表示订阅语文学习资料的学生,C表示订阅英语学习资料的学生
(1)从这个班任意选择一名学生,用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件;
(2)用A,B,C表示下列事件:
①恰好订阅一种学习资料;
②没有订阅任何学习资料.
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【题目】有一批材料可以建成200m的围墙,若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,如何设计这块矩形场地的长和宽,能使面积最大,并求出最大面积.
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【题目】如图,抛物线的焦点为
,抛物线
上
两点,在抛物线的准线上的射影分别为
.
(1)如图,若点在线段
上,过
作
的平行线
与抛物线准线交于
,证明:
是
的中点;
(2)如图,若的面积是
的面积的两倍,求
中点的轨迹方程.
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【题目】已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.
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【题目】如图,OA,OB是两条互相垂直的笔直公路,半径OA=2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力,欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合),并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时,投资费用最低.设∠POA=,公路MB,MN的总长为
.
(1)求关于
的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)当为何值时,投资费用最低?并求出
的最小值.
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