Question

【题目】已知函数().

(Ⅰ)若在处的切线过点，求的值；

(Ⅱ)若恰有两个极值点，().

(ⅰ)求的取值范围；

(ⅱ)求证：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出在处的切线的斜率，求出切线方程，把点代入切线方程中，求出的值；

(Ⅱ) (ⅰ) ，，，分类讨论函数的单调性；

当时，可以判断函数没有极值，不符合题意；

当时，可以证明出函数有两个极值点，，故可以求出的取值范围；

由(ⅰ)知在上单调递减，，且，

由得，，又，

.

法一：先证明（）成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出成立；

法二：令()，求导，利用单调性也可以证明出

成立.

解:(Ⅰ)，

又

在处的切线方程为，即

切线过点，

(Ⅱ)(ⅰ) ，，，

当时，，在上单调递增，无极值，不合题意，舍去

当时，令，得，()，

或;，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，恰有个极值点，，符合题意，

故的取值范围是

(ⅱ)由(ⅰ)知在上单调递减，，且，

由得，，又，

法一:下面证明（），令（），，

在上单调递增，，即（），

，

综上

法二:令()，则，

在上单调递增，，即，

综上