Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点的坐标为，点在抛物线上，且满足，（为坐标原点）.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线，且与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，线段的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x.（2）直线GH过定点(4,0)

【解析】分析：（1）直接把点M,N的坐标代入得p的值，即得抛物线的方程.(2)

先求出直线GH的方程y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]，再化简分析找到它的定点.

详解：（Ⅰ）解：，点M的坐标为(6,4)，可得点N的坐标为(9,6)，

∴36＝18p，∴p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

（Ⅱ）证明:由条件可知，直线l1，l2的斜率存在且均不能为0，也不能为1、-1

设l1：y＝k(x－6)＋4，则l2的方程为y＝(x－6)＋4，

将l1方程与抛物线方程联立得ky2－4y＋16－24k＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又y1＋y2＝k(x1＋x2－12)＋8，

∴x1＋x2＝，

∴点G的坐标为，

用代替k，得到点H坐标为(2k2－4k＋6,2k)，

所以

∴GH方程为：y－2k＝[x－(2k2－4k＋6)]．

整理得

令y＝0，则x＝4，所以直线GH过定点(4,0)