Question

已知平面向量a=(,-1),b=(,).

(1)证明a⊥b;

(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t²-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);

(3)根据(2)的结论,确定k=f(t)的单调区间.

Answer 1

(1)证明：∵a·b=(,-1)·(,)=-=0,∴a⊥b.

(2)解：由x⊥y,知［a+(t²-3)b］·(-ka+tb)=0.

∴-ka²-k(t²-3)a·b+ta·b+t(t²-3)b²=0.

∵a⊥b,∴上式又可化为-ka²+t(t²-3)b²=0.

    把a、b的坐标代入上式,得k=t(t²-3),即k=f(t)=t³-t.

(3)解：∵f′(t)=t²-,

    令f′(x)＞0,得t＞1或t＜-1,

∴函数k=f(t)=t³-t的增区间为(-∞,-1),(1,+∞).

    令f′(x)＜0,得-1＜t＜1,

∴函数k=t³-t的减区间为(-1,1).