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精英家教网在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

(1)证明:b+c=2a;
(2)如图,点O是△ABC外一点,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,当b=c时,求平面四边形OACB面积的最大值.
分析:(1)由已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA,再由正弦定理可得b+c=2a;
(2)由条件和(1)的结论可得△ABC为等边三角形,利用S△OACB=S△OAB+S△OBC=
1
2
OA•OB•sinθ+
3
4
AB2
,结合辅助角公式,可得平面四边形OACB面积的最大值.
解答:(1)证明:∵
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,
∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,
∴sinC+sinB=2sinA,
∴b+c=2a;
(2)解:∵b+c=2a,b=c,
∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形,
∴S△OACB=S△OAB+S△OBC=
1
2
OA•OB•sinθ+
3
4
AB2
=sinθ+
3
4
(OA2+OB2-2OA•OB•cosθ)

=sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
=2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4

∵0<θ<π,
-
π
3
<θ-
π
3
3

当且仅当θ-
π
3
=
π
2
,即θ=
6
时取最大值,最大值为2+
5
3
4
点评:本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及余弦定理和三角形的面积,考查三角函数的性质,正确表示平面四边形OACB面积是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面积为10
3
cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面积S=
3
3
2
,求边c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,A,B,C为三个内角,若cotA•cotB>1,则△ABC是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的:
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位;
②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍.
(1)求f(x)的周期和对称轴;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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