Question

已知函数f(x)=-x+2n

1+x2

在区间（0，∞）上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）设S_n为数列{

1

a 2n

}的前n项的和，求

lim

n→∞

S_n的值；
（3）若Tn=

3

cos

π

an

 -sin

π

an

，试比较T_n与T_n+1的大小．

Answer 1

（1）由题f′(x)=

2nx

1+x2

-1
令f'（x）=0，得x=

1

4n2-1

所以an=

4n2-1

；
（2）因为

1

a 2n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)
所以

lim

n→∞

Sn=

1

2

（3） Tn=

3

cos

π

an

-sin

π

an

=2cos(

π

an

+

π

6

)，

又由

1

an

=

1

4n2-1

知0＜

1

an+1

＜

1

an

≤

1

3

，
从而

π

6

＜

π

an+1

+

π

6

＜

π

an

+

π

6

≤

π

3

+

π

6

＜

5π

6

又y=cosx在[0，π]上单调递减，所以T_n＜T_n+1．