精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知二次函数f(x)的图象与x轴交于A,B两点,且|AB|=2
3
,它在y轴上的截距为4,对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).(1)求f(x)的表达式;(2)若二次函数的图象都在直线l:y=x+c下方,求c的取值范围.
分析:(1)可用待定系数法求参数,将题设条件逐个转化,对任意的x都有f(x+1)=f(1-x)转化为对称轴为x=1,在y轴上的截距为4转化为图象过(0,4)点,图象与x轴交于A,B两点,且|AB|=2
3
可以得到两根差的绝对值等于3,依次将这三个关系用参数表示出来求参数.
(2)二次函数的图象都在直线l:y=x+c下方,即横坐标相同时,二次函数图象上点的纵坐标都小于等于直线上相应点的纵坐标,利用此关系建立相应的不等式,此不等式为关于x的一元二次不等式,下据具体情况将此不等式恒成立的问题等价转化为参数c的不等式即可.
解答:解:(1)∵f(x+1)=f(1-x),∴y=f(x)的对称轴为x=1,
又f(x)为二次函数,可设f(x)=a(x-1)2+k(a≠0).
又当x=0时,y=4,∴a+k=4,得f(x)=a(x-1)2+4.令f(x)=0得a(x-1)2+4=0,
x=1±
a-4
a
a-4
a
≥0

|AB|=2
a-4
a
,又|AB|=2
3

a-4
a
=
3
,∴a=-2,
∴f(x)=-2x2+4x+4
(2)由条件知-2x2+4x+4≤x+c在x?R恒成立,即2x2-4x-4+c≥0对x?R恒成立,
∴△=9+8(4-c)≤0,∴c≥
41
8

∴c的取值范围是[
41
8
,+∞)
点评:本题考点是二次函数的性质,属于二次函数性质的综合应用题,第一小题头绪繁多,第二小题转化方式隐蔽,对抽象思绪要求较高,极好地考查了依据相关知识进行灵活转化的技能.对本题的转化依据与转化方式要认真分析,作为以后解题的借鉴.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函数的图象经过原点,且满足f(2)=0,求实数m的值.
(Ⅱ)若函数在区间[2,+∞)上为增函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)若记区间[a,b]的长度为b-a.问:是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t?请对你所得的结论给出证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•广州一模)已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两交点为(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步练习册答案