Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，设直线l与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．

解答 解：不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=-$\frac{2km}{9+{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-9}{9+{k}^{2}}$．①
因为以AB为直径的圆过点C（3，0），
所以$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0．
由 $\overrightarrow{CA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（x₂-3，y₂），
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
将 ①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
所以m=$\frac{12}{5}$，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=$\frac{3}{5}$，
则有S_△ABC=$\frac{1}{2}$|DC|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{5}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{9}{5}$•$\sqrt{\frac{25（{k}^{2}+9）-1444}{25（{k}^{2}+9）^{2}}}$，
设t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，0＜t＜$\frac{1}{9}$，则S_△ABC=$\frac{9}{5}$•$\sqrt{-\frac{144}{25}{t}^{2}+t}$．
所以当t=$\frac{25}{288}$时，S_△ABC取得最大值$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程和三角形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．