Question

12．已知函数y=x²-2mx+5，求函数在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 求f（x）的对称轴为x=m，讨论m和区间[0，3]的关系：对于每种情况根据二次函数f（x）在[0，1]上的单调性，或取到顶点值，或比较端点值，这样即可得出每种情况下的函数f（x）的最大值．

解答 解：y=f（x）=x²-2mx+5，f（x）的对称轴为x=m；
（1）若m≤0，则f（x）在[0，1]上单调递增；
∴f（x）的最大值为f（1）=6-2m；
（2）若0＜m≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
f（x）的最大值为f（1）=6-2m；
（3）若$\frac{1}{2}$＜m≤1，f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
f（x）的最大值为f（0）=5；
（4）若m＞1，则f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f（x）的最大值为f（0）=5．

点评 考查二次函数的对称轴的求解公式，二次函数的单调性，以及根据单调性求函数的最值，根据取得顶点的情况或比较端点值来求二次函数最值的方法，要熟悉二次函数的图象．