Question

7．设函数f（x）=x|x-a|+b
（1）求证：当f（x）为奇函数时a²+b²=0
（2）设常数b＜2$\sqrt{2}$-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，即可证明a²+b²=0．
（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+$\frac{b}{x}$＜a＜x-$\frac{b}{x}$恒成立问题，利用函数g（x）=x+$\frac{b}{x}$的最值即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若f（x）为奇函数
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）
（2）由b＜2$\sqrt{2}$-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+$\frac{b}{x}$＜a＜x-$\frac{b}{x}$恒成立
令g（x）=x+$\frac{b}{x}$在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-$\frac{b}{x}$，则h（x）在（0，$\sqrt{-b}$]上单调递减，[$\sqrt{-b}$]，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-$\frac{b}{x}$在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°当-1≤b＜2$\sqrt{2}$-3时，h（x）=x-$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{-b}$]，
∴a＜h_min（x）=2$\sqrt{-b}$]，∴1+b＜a＜2$\sqrt{-b}$]．（14分）

点评 本小题主要考查函数单调性、奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．