Question

17．设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（1）$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1                              
（2）ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）通过基本不等式可知$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，利用a+b+c=1相加计算即得结论；
（2）利用基本不等式可知a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，利用（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=1计算即得结论．

解答 证明：（1）∵$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（a+b+c）≥2（a+b+c），
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c．
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1；
（2）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
又∵（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=1，
∴3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意解题方法的积累，属于中档题．