Question

2．已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x•y）=xf（y）+yf（x）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，再令x=y=1，从而求f（0），f（1）的值；
（2）可判断f（x）在R上是奇函数，从而证明即可．

解答 解：（1）令x=y=0得，
f（0）=0f（0）+0f（0）=0，
令x=y=1得，
f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0；
（2）f（x）在R上是奇函数，证明如下，
令x=y=-1得，
f（1）=（-1）f（-1）+（-1）f（-1），
故f（-1）=0；
令y=-1，则：
f（-x）=xf（-1）+（-1）f（x）；
故f（-x）=-f（x）；
故f（x）是奇函数．

点评 本题考查了抽象函数的应用及函数的性质的判断与证明．