Question

（2011•上海模拟）设

a

，

b

，

c

是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：
①方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)不可能有两个不同的实数解；
②方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)有实数解的充要条件是

b

2-4

a

•

c

≥0；
③方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0有唯一的实数解x=-

b

a

；
④方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0没有实数解．
其中真命题有

①④

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：对于①、②，是关于向量的方程，将方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)变形可得

C

=-x²

a

-x

b

，由向量共线的条件分析①，也不能按照实数方程有解的条件来判断，对于③、④，是实系数方程，利用一元二次方程的根的判别式和数量积的性质，对题设中的四个选项依次进行判断，能够得到结果．

解答：解：对于①：
对方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)变形可得

C

=-x²

a

-x

b

，
由平面向量基本定理分析可得

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)最多有一解，
故①正确；
对于②：
方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

(

a

≠

0

)是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，
故②正确；
对于③、④，方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0中，
△=4

a

•

b

²-4

a

2•

b

2，
又由

a

、

b

不平行，必有△＜0，
则方程

a

2x2+2

a

•

b

x+

b

2=0没有实数解，
故③不正确而④正确
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式和数量积的性质的灵活运用．