Question

如图,在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心,点P在棱CC₁上,且CC₁=4CP.

(1)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);

(2)设O点在平面D₁AP上的射影是H,求证:D₁H⊥AP;

(3)求点P到平面ABD₁的距离.

Answer 1

解:如图,(1)连结BP.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴AP与平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB.

∵CC₁=4CP,CC₁=4,

∴CP=1.

在Rt△PBC中,∠PCB为直角,BC=4,CP=1,故BP=.

在Rt△APB中,∠ABP为直角,tan∠APB=,

∴∠APB=arctan,

即直线AP与平面BCC₁B₁所成的角为arctan.

(2)连结A₁C₁,B₁D₁.

∵四边形A₁B₁C₁D₁是正主形,∴D₁O⊥A₁C₁.

又AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁,∴AA₁⊥D₁O.

∵AA₁∩A₁C₁=A₁,∴D₁O⊥平面A₁APC₁.

∵AP平面A₁APC₁,∴D₁O⊥AP.

∵平面D₁AP的斜线D₁O在这个平面内的射影是D₁H.∴D₁H⊥AP.

(3)连结BC₁,在平面BCC₁B₁中,过点P作PQ⊥BC₁于点Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,PQ平面BCC₁B₁,

∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁.

∴PQ就是点P到平面ABD₁的距离.

在Rt△C₁PQ中,∠C₁QP=90°,∠PC₁Q=45°,PC₁=3,

∴PQ=,即点P到平面ABD₁的距离为.