Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=

1

4

(m-3x)在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{a_n}满足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N*），a₁=lnp，求证：a_n+1≥a_n．

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行，则在x=1处的导数等于直线x+2y-1=0的斜率，从而求解．
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，先将原方程整理为4ln（1+x）-x=m．再利用图象的交点来解决．（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）用导数法证明当x∈（-1，+∞）时，f（x）≤0，得到ln（1+x）≤x．再由已知有p＞a_n，构建a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n）模型，只要再证11+p-1-a_n＞1即可

解答：解：（I）∵f′(x)=

1

1+x

-a，
∴f′(1)=

1

2

-a．
由题知

1

2

-a=-

1

2

，
解得a=1．（3分）

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=

4

1+x

-1=

3-x

1+x

，
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．（6分）
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln

3

5

+2=2(2ln

3

5

+1)=2ln

9e

25

．
由9e≈24.46＜25，于是2ln

9e

25

＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）

（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
显然f'（0）=0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上是增函数，在[0，+∞）上是减函数．
∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，
∴当x∈（-1，+∞）时，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．（*）（11分）
由已知有p＞a_n，即p-a_n＞0，所以p-a_n-1＞-1．
∵a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n），
∴由（*）中结论可得a_n+1-a_n≤p-1-a_n，即a_n+1≤p-1（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n+1-a_n=ln（p-a_n）≥ln[p-（p-1）]=0，即a_n+1≥a_n．
当n=1，a₂=a₁+ln（p-lnp），
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，
∴a₂≥a₁+ln[p-（p-1）]=a₁，结论成立．
∴对n∈N^*，a_n+1≥a_n．（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义，用导数法解方程根的问题以及考查单调数列，综合性很强，要注意已证结论的应用．