Question

设函数f(x)=

4x

2+4x

，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)．

Answer 1

分析：（1）直接利用用定义，通过f（x₁）-f（x₂）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）是R上的单调性；
（2）化简f（t）+f（1-t），证明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末两项的和为1，利用倒序相加法，求出f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)．

解答：解：（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

4x1

2+4x1

-

4x2

2+4x2

=

2(4x1-4x2)

(2+4x1)(2+4x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
又2+4x1＞0，2+4x2＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数                                   …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=

4t

2+4t

-

4t-1

2+4t-1

=

4t

2+4t

-

4

24t+4

=

2+4t

2+4t

=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1                                 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f(

1

2012

)+f(

2011

2012

)=1，f(

2

2012

)+f(

2010

2012

)=1，
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)+f(

2011

2012

)+f(

2010

2012

)+f(

2009

2012

)+…+f(

1

2012

)=2011，
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+f(

3

2012

)+…+f(

2011

2012

)=

2011

2

…（14分）

点评：本题考查函数的单调性的证明，函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．