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设函数f(x)=
4x
2+4x

(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;
(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;
(3)求值:f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+
+f(
2011
2012
)
分析:(1)直接利用用定义,通过f(x1)-f(x2)化简表达式,比较出大小即可证明函数f(x)是R上的单调性;
(2)化简f(t)+f(1-t),证明它的值是1即可;
(3)由(2),f(t)+f(1-t)=1,求出首末两项的和为1,利用倒序相加法,求出f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+
+f(
2011
2012
)
解答:解:(1)证明:设任意x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)

∵x1<x2
4x14x2,∴4x1-4x2<0
2+4x1>0,2+4x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),…(4分)
∴f(x)在R上是增函数                                   …(6分)
(2)对任意t,f(t)+f(1-t)=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-
4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1.
∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1                                 …(10分)
(3)∵由(2)得f(t)+f(1-t)=1
f(
1
2012
)+f(
2011
2012
)=1
f(
2
2012
)+f(
2010
2012
)=1

f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)
+f(
2011
2012
)+f(
2010
2012
)+f(
2009
2012
)+…+f(
1
2012
)
=2011,
f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+…+f(
2011
2012
)
=
2011
2
…(14分)
点评:本题考查函数的单调性的证明,函数值的求法,考查计算能力,值域倒序相加法的应用.
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x2-1
-
3
x-1
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在点x=1处连续,则a=(  )
A、、
1
2
B、)
2
3
C、)
4
3
D、)
3
2

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1
2
)
的值为
2
2

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3
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4x(x≤0)
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