Question

5．观察下列不等式
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…
照此规律，第n个不等式为$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 依题意观察不等式的左边的变化是一个数列$\{\frac{1}{{n}^{2}}\}$的求和形式．最后一项是$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．不等式的右边是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式，进而得到答案．

解答 解：由已知中不等式：
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…
依题意观察不等式的左边的变化是一个数列$\{\frac{1}{{n}^{2}}\}$的求和形式．
最后一项是$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
不等式的右边是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式．
所以第n个式子应该是$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．
故答案为$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．

点评 本题考查的知识点是：1．归纳推理.2．数列求和的思想.3．数列的通项，难度中档．