Question

10．已知数列{a_n}，a₁=1，满足${a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}$．
（1）求证：数列$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+nb_n=a_n，对一切n∈N^*都成立，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边同除以2ⁿ⁺¹，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）运用数列的递推式，n=1时，求得b₁，n≥2时，n换为n-1，相减可得所求，注意检验n=1的情况．

解答 （1）证明：∵${a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}$，
∴数列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$构成以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
即$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2}⇒{a_n}=n\;•\;{2^{n-1}}$．
（2）解：b₁+2b₂+…+nb_n=a_n，即${b_1}+2{b_2}+…+n{b_n}=n\;•\;{2^{n-1}}$，
n=1时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．
n≥2时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，①b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1，②
①-②得：$n{b_n}={a_n}-{a_{n-1}}=n{2^{n-1}}-（n-1）{2^{n-2}}=（n+1）{2^{n-2}}$，
${b_n}=\frac{{（n+1）{2^{n-2}}}}{n}，\;\;n≥2$，
检验n=1时满足上式．
∴${b_n}=\frac{{（n+1）{2^{n-2}}}}{n}（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列递推式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．