Question

20．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜e${\;}^{\frac{3}{4}}$（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出lnx＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n≥2），得到ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），累加即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，令h（x）=-ax²+x-a，
记△=1-4a²，当△≤0时，得a≥$\frac{1}{2}$，
若a≥$\frac{1}{2}$，则-ax²+x-a≤0，f′（x）≤0，
此时函数f（x）在（0，+∞）递减，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，由-ax²+x-a=0，解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，
显然x₁＞x₂＞0，故此时函数f（x）在（$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$）递增，
在（0，$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，+∞）递减；
综上，0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$）递增，
在（0，$\frac{1-\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-{4a}^{2}}}{2a}$，+∞）递减，
a≥$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（0，+∞）递减；
（Ⅱ）证明：令a=$\frac{1}{2}$，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，
又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n≥2），
则ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）-$\frac{1}{2（1+\frac{1}{{n}^{2}}）}$=$\frac{1+{2n}^{2}}{{2n}^{2}{（n}^{2}+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
从而：ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-3}$-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
则有ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{3}{4}$，
可得（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜e${\;}^{\frac{3}{4}}$（n∈N^*，n≥2）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．