Question

设实数x，y满足不等式组

x≥1 y≥1 x-y+1≥0 x+y≤6

，则z=

x+2y

2x+y

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：考查约束条件表示的可行域，求出四个交点的坐标，通过换元法化简目标函数，求出斜率的范围，然后求解目标函数的范围即可．

解答： 解：作出满足x≥1，y≥1，x+y≤6，x-y+1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（

5

2

，

7

2

）、D（5，1），
将目标函数变形为z=

x+2y

2x+y

=

1+ 2y x

2+ y x

，令k=

y

x

，
则z=

1+2k

2+k

，而k=

y

x

表示可行域中的点（x，y）与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D、B与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k=

y

x

∈[

1

5

，2]，再由函数的性质易得z∈[

7

11

，

5

4

]．
故答案为：[

7

11

，

5

4

]．

点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．注意转化思想的应用．