Question

【题目】已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0相交于M、N两点

（1）求实数k的取值范围；

（2）求证：为定值；

（3）若O为坐标原点，问是否存在直线l，使得，若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析； （3）不存在，见解析.

【解析】

(1)设直线的方程为,再联立圆的方程,令二次方程的判别式大于0即可求解.

(2)设M（x1,y1）,N（x2,y2）,联立直线与圆的方程,再表达出,代入韦达定理化简消去即可.

(3)联立直线与圆的方程,再利用求得,判断是否满足的取值范围即可.

（1）直线l的方程为y＝kx+1,

代入圆的方程可得：x2+（kx+1）2﹣4x﹣6（kx+1）+12＝0,

化简得：（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0,

∵直线l与圆有两个交点,∴△＝16（k+1）2﹣28（1+k2）＞0,即3k2﹣8k+3＜0,

解得：．

（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则（x1,y1﹣1）,（x2,y2﹣1）,

∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1,

由（1）可知x1x2,x1+x2,

∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1,

y1+y2＝kx1+1+kx2+1＝k（x1+x2）+2,

∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+17,即为定值．

（3）若8,则x1x2+y1y2＝8,即1＝8,

∴0,即k＝0或k＝﹣1．

由（1）可知k＞0,故不存在直线l,使得8．