Question

【题目】已成椭圆 的左右顶点分别为 ，上下顶点分别为 ，左右焦点分别为 ，其中长轴长为4，且圆 为菱形 的内切圆．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为 轴正半轴上一点，过点 作椭圆 的切线 ，记右焦点 在 上的射影为 ，若 的面积不小于 ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知 ，所以 ，

所以 ，则

直线 的方程为 ，即 ，

所以 ，解得 ，

故椭圆 的方程为 ；

（2）

由题意，可设直线 的方程为 ，

联立 消去 得 ，（*）

由直线 与椭圆 相切，得 ，

化简得 ，

设点 ，由（1）知 ，则

，解得 ，

所以 的面积 ，

代入 消去 化简得 ，

所以 ，解得 ，即 ，

从而 ，又 ，所以 ，

故 的取值范围为 .

【解析】（1）圆O为菱形 的内切圆，则原点到直线 的距离等于圆O的半径；（2）设直线 的方程为 ，与椭圆联立，直线l与椭圆相切，则判别式为0，列出关于m，n的方程。设点 ，表示出 的面积，根据题意 的面积不小于 ，求出n的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了椭圆的概念和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．