【题目】已知函数在区间
上的最大值为4,最小值为1.
(1)求实数、
的值;
(2)记,若
在
上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)对于函数,用
,1,2,
,
,
将区间
任意划分成
个小区间,若存在常数
,使得和式
对任意的划分恒成立,则称函数
为
上的有界变差函数.记
,试判断函数
是否为在
上的有界变差函数?若是,求
的最小值;若不是,请说明理由.
(参考公式:
【答案】(1),
;(2)
或
;(3)是,6.
【解析】
(1)由已知中在区间
的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,构造出关于
,
的方程组,解得
,
的值;
(2)由的解析式可得
的解析式,讨论
的符号结合对勾函数的图象和单调性可得
的范围;
(3)根据有界变差函数的定义,我们先将区间进行划分,进而判断
是否恒成立,进而得到结论.
(1)函数
,因为
,
所以在区间
上是增函数,
又函数
故在区间
,
上的最大值为4,最小值为1,
,即
,
解得,
;
(2)由已知可得,
,
若在
上是单调函数,
若,即
,由两个增函数的和还是增函数,易得函数
在
递增;
若,函数
为对勾函数,结合图象可知:在
递增;
或
,解得:
或
.
综上所述:或
.
(3)函数为
上的有界变差函数.
因为函数为
递增,
递减,
上的单调递增函数,
且对任意划分,
有
恒成立,①
且对任意划分,
有,
恒成立,②
且对任意划分,
有,
恒成立,③
由①②③可得
,
存在常数
,使得
恒成立,
的最小值为6.
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【题目】某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(I)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(II)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率;
(III)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
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【题目】(2015·陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
c的极坐标方程为
=2
sin
.
(1)写出c的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
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【题目】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 个单位长度,则评议后图象的对称轴为( )
A.x= –
(k∈Z)
B.x= +
(k∈Z)
C.x= –
(k∈Z)
D.x= +
(k∈Z)
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【题目】(选修4﹣1:几何证明选讲)
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
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【题目】已成椭圆 的左右顶点分别为
,上下顶点分别为
,左右焦点分别为
,其中长轴长为4,且圆
为菱形
的内切圆.
(1)求椭圆 的方程;
(2)点 为
轴正半轴上一点,过点
作椭圆
的切线
,记右焦点
在
上的射影为
,若
的面积不小于
,求
的取值范围.
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【题目】若函数f(x)在其图像上存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”, 则下列函数:
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中为“柯西函数”的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E为棱PB的中点 (Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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