Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF， ∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DF∥CE，
又△PAD 为正三角形，
∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，
以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，

设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1， ），D（0，2，0），E（2， ， ），
∴ =（2， ）， =（0，2，0），
设平面ADE的法向量 =（x，y，z），
则 ，取z=﹣4，得 =（ ），
由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴ =（0，1， ）是平面CDE的一个法向量，
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣ ．
【解析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．