【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,A1D1的中点.
(Ⅰ)求证:DD1⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:平面A1BE⊥平面ADD1A1;
(Ⅲ)若CF∥平面A1BE,求棱BC的长度.
【答案】解:(Ⅰ)证明:因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,
所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD.
因为AD∩CD=D,
所以DD1⊥平面ABCD.
(Ⅱ)证明:因为△ABD是正三角形,且E为AD中点,
所以BE⊥AD.
因为DD1⊥平面ABCD,
而BE平面ABCD,
所以BE⊥DD1.
因为AD∩DD1=D,
所以BE⊥平面ADD1A1.
因为BE平面A1BE,
所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.
(Ⅲ)解:因为BC∥AD,F为A1D1的中点,
所以BC∥A1F.
所以B、C、F、A1四点共面.
因为CF∥平面A1BE,
而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B,
所以CF∥A1B.
所以四边形BCFA1是平行四边形.
所以
【解析】(Ⅰ)证明DD1⊥AD,且DD1⊥CD,即可证明:DD1⊥平面ABCD;(Ⅱ)证明BE⊥平面ADD1A1.即可证明:平面A1BE⊥平面ADD1A1;(Ⅲ)证明四边形BCFA1是平行四边形,求棱BC的长度.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题.
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【题目】(2015·陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,c的极坐标方程为=2sin.
(1)写出c的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
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【题目】若函数f(x)在其图像上存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”, 则下列函数:
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中为“柯西函数”的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,△PAD为正三角形,AB∥CD,AB=2CD,∠BAD=90°,PA⊥CD,E为棱PB的中点 (Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面CDE;
(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.
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【题目】如图茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:小时),已知甲班数据的平均数为13,乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填;y的位置应填 .
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【题目】已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),则称B为A的一个基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则其基集B元素个数的最小值是 .
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【题目】某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成5块区域,如图,社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域随机用一种颜色的花卉,且相邻区域(用公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数共有( )
A.96
B.114
C.168
D.240
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