【题目】已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),则称B为A的一个基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则其基集B元素个数的最小值是 .
【答案】3
【解析】解:不妨设a1<a2<a3<…<am,则
形如1×ai+0×aj(1≤i≤j≤m)的正整数共有m个;
形如1×ai+1×ai(1≤i≤m)的正整数共有m个;
形如1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有Cm2个;
形如﹣1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有Cm2个.
又集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),含n个不同的正整数,A为集合M的一个m元基底.
故m+m+Cm2+Cm2≥n,即m(m+1)≥n,
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},可知m(m+1)≥10,所以m≥3.
所以答案是3.
【考点精析】通过灵活运用集合的表示方法-特定字母法,掌握①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:{|
具有的性质},其中
为集合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合即可以解答此题.
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【题目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1 , AB的中点. (I)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥面A1FC;
(II)若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为 ,求AA1的值.
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【题目】已知不等式|x+3|﹣2x﹣1<0的解集为(x0 , +∞) (Ⅰ)求x0的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=|x﹣m|+|x+ |﹣x0(m>0)有零点,求实数m的值.
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【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,A1D1的中点.
(Ⅰ)求证:DD1⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:平面A1BE⊥平面ADD1A1;
(Ⅲ)若CF∥平面A1BE,求棱BC的长度.
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【题目】已知函数f(x)=ex+x2﹣x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R. (Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值;
(Ⅲ)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC=(3a﹣c)cosB.D为AC边的中点,且BD=1,则△ABD面积的最大值为 .
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【题目】已知函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0). (I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2),且f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(ax﹣1)e2x+x+1(其中e为自然对数的e底数).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)对x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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