【题目】已知函数f(x)=ex+x2﹣x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R. (Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值;
(Ⅲ)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)F(x)=ex﹣2x﹣b,则F'(x)=ex﹣2.
令F'(x)=ex﹣2>0,得x>ln2,所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增.
令F'(x)=ex﹣2<0,得x<ln2,所以F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减.
(Ⅱ)因为f'(x)=ex+2x﹣1,所以f'(0)=0,所以l的方程为y=1.
依题意, ,c=1.
于是l与抛物线g(x)=x2﹣2x+b切于点(1,1),
由12﹣2+b=1得b=2.
所以a=﹣2,b=2,c=1.
(Ⅲ)设h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣(a+1)x﹣b,则h(x)≥0恒成立.
易得h'(x)=ex﹣(a+1).
⑴当a+1≤0时,
因为h'(x)>0,所以此时h(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增.
①若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤﹣1;
②若a+1<0,取x0<0且 ,
此时 ,所以h(x)≥0不恒成立.
不满足条件;
⑵当a+1>0时,
令h'(x)=0,得x=ln(a+1).由h'(x)>0,得x>ln(a+1);
由h'(x)<0,得x<ln(a+1).
所以h(x)在(﹣∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.
要使得“h(x)=ex﹣(a+1)x﹣b≥0恒成立”,必须有:
“当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0”成立.
所以b≤(a+1)﹣(a+1)ln(a+1).则a+b≤2(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣1.
令G(x)=2x﹣xlnx﹣1,x>0,则G'(x)=1﹣lnx.
令G'(x)=0,得x=e.由G'(x)>0,得0<x<e;
由G'(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以,当x=e时,G(x)max=e﹣1.
从而,当a=e﹣1,b=0时,a+b的最大值为e﹣1.
综上,a+b的最大值为e﹣1
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)求出函数的导数,根据切线方程求出a,b,c的值即可;(Ⅲ)设h(x)=f(x)﹣g(x),求出函数的导数,通过讨论a的范围,问题转化为b≤(a+1)﹣(a+1)ln(a+1),得到a+b≤2(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣1,
令G(x)=2x﹣xlnx﹣1,x>0,根据函数的单调性求出a+b的最大值即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】在考试测评中,常用难度曲线图来检测题目的质量,一般来说,全卷得分高的学生,在某道题目上的答对率也应较高,如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图,第1、2问满分均为6分,图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度,则下列说法正确的是( )
A.此题没有考生得12分
B.此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分
D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
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【题目】函数 的最大值为2,它的最小正周期为2π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若g(x)=cosxf(x),求g(x)在区间 上的最大值和最小值.
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【题目】已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的x∈A,存在ai , aj∈B(i≠j),使得x=λ1ai+λ2aj(λ1 , λ2∈{﹣1,0,1}),则称B为A的一个基集.若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则其基集B元素个数的最小值是 .
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【题目】已知椭圆C: 的离心率为
,M为C上除长轴顶点外的一动点,以M为圆心,
为半径作圆,过原点O作圆M的两条切线,A、B为切点,当M为短轴顶点时∠AOB=
. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的右焦点为F,过点F作MF的垂线交直线x= a于N点,判断直线MN与椭圆的位置关系.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且2Sn=4an﹣1. (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=anan+1﹣2,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】现有10支队伍参加篮球比赛,规定:比赛采取单循环比赛制,即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场;每场比赛中,胜方得2分,负方得0分,平局双方各得1分.下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( )
A.可能有两支队伍得分都是18分
B.各支队伍得分总和为180分
C.各支队伍中最高得分不少于10分
D.得偶数分的队伍必有偶数个
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