Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．D为AC边的中点，且BD=1，则△ABD面积的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵bcosC=（3a﹣c）cosB，

∴利用正弦定理化简得：（3sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosB= ，可得sinB= ，

∵点D为边AC的中点，

∴2 = + ，

∴两边平方可得：4| |2=| |2+2| || |cos∠ABC+| |2

设| |=c，| |=a，可得：4=a2+c2+ ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴ac≤ ，（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABC= acsin∠ABC≤ × × = （当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABD= S△ABC= ．（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴当且仅当a=c=2时，△ABD面积的最大值为 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．