Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，平面BDEF⊥平面ABCD，四边形BDEF是正方形，点M在线段EF上， =λ ．

（1）当λ= ，求证：BM∥平面ACE；
（2）如二面角A﹣BM﹣C的平面角的余弦值为﹣ ，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ = ，∴M是EF的中点，

设AC∩BD=O，连结OE，则BM∥OE，

又∵BM平面ACE，OE平面ACE，

∴BM∥平面ACE．

（2）解：以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0），M（2λ﹣1，0，2），

=（1， ，0）， =（2λ﹣2，0，2）， =（﹣1， ，0），

设平面ABM的法向量 =（x，y，z），则 ， =0，

∴ ，取x= ，得 =（ ），

设平面BCM的法向量 =（a，b，c），则 ，

∴ ，取x= ，得 =（ ），

∵二面角A﹣BM﹣C的平面角的余弦值为﹣ ，

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得 ，或 （舍）．

故实数λ的值为 ．

【解析】（1）M是EF的中点，设AC∩BD=O，连结OE，则BM∥OE，由此能证明BM∥平面ACE．（2）以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．