Question

【题目】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若abcd，则++;
（2）++是|a-b||c-d|的充要条件

Answer 1

【答案】
（1）

∵（+）2 =a+b+2,（+）2=c+d+2,

由题设a+b=c+d，abcd，得+）2（+）2，

∴++。

（2）

若|a-b||c-d|，则（a-b）2（c-d）2，即（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd

∵a+b=c+d，

∴abcd，

由（I）得++。

若++，则（+）2（+）2，即a+b+2c+d+2

∵a+b=c+d，所以abcd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd=（c-d）2.

∴|a-b||c-d|

综上所述，++是|a-b||c-d|的充要条件。

【解析】（I）要证明++ ， 只需证明（+）2（+）2;展开结合已知条件易证；
（Ⅱ）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系．
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理，以及对类比推理的理解，了解根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理．