Question

18．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D、E、F分别为AC、AB、AP的中点，M、N分别为线段PC、PB上的动点，且有MN⊥PC．
（Ⅰ）求证：DE∥平面FMN；
（Ⅱ）若M是PC的中点，证明：平面FMN⊥平面DMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC∥MN，DE∥BC，可得DE∥MN，利用线面平行的判定定理证明DE∥平面FMN；
（Ⅱ）证明FM⊥MD，FM⊥MN，可得FM⊥平面DMN，即可证明：平面FMN⊥平面DMN．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BC⊥PC，
∵MN⊥PC，
∴BC∥MN，
∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∴DE∥MN，
∵DE?平面FMN，MN?平面FMN
∴DE∥平面FMN；
（Ⅱ）∵M是PC的中点，D、F分别为AC、AP的中点，
∴FM∥AC，MD∥PA，
∴FM⊥MD，
∵BC⊥平面PAC，BC∥MN，
∴MN⊥平面PAC，
∵FM?平面PAC，
∴FM⊥MN，
∵MD∩MN=M，
∴FM⊥平面DMN．
∵FM?平面FMN，
∴平面FMN⊥平面DMN．

点评 本题考查线面平行，线面垂直的判定与性质，考查平面与平面垂直，正确运用判定定理是关键．