Question

抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x₀，0），求证：x₀＞3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，当0＜p＜1时，求

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|N10N11|

的值．

Answer 1

分析：（1）设直线l方程为y=k（x+p），与抛物线方程联立消去y，根据判别大于0可求得k²的范围，令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁+x₂和y₁+y₂进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程可得，令y=0，得x₀=

k2P+2P

k2

=p+

2P

k2

．根据k的范围进而证明原式．
（2）根据l的斜率依次为p，p²，p³时，AB中垂线与x轴交点依次为N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）可得点N_n的坐标，根据|N_nN_n+1|的表达式，进而可得答案．

解答：（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y²=4px．
得k²x²+（2k²p-4p）x+k²p²=0．
△=4（k²p-2p）²-4k²•k²p²＞0，
得0＜k²＜1．
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k2p-4p

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2p）=

4p

k

，
AB中点坐标为（

2P-k2P

k2

，

2p

k

）．
AB垂直平分线为y-

2p

k

=-

1

k

（x-

2P-k2P

k2

）．
令y=0，得x₀=

k2P+2P

k2

=p+

2P

k2

．
由上可知0＜k²＜1，∴x₀＞p+2p=3p．
∴x₀＞3p．
（2）解：∵l的斜率依次为p，p²，p³，时，AB中垂线与x轴交点依次为N₁，N₂，N₃，（0＜p＜1）．
∴点N_n的坐标为（p+

2

p2n-1

，0）．
|N_nN_n+1|=|（p+

2

p2n-1

）-（p+

2

p2n+1

）|=

2(1-p2)

p2n+1

，

1

|NnNn+1|

=

p2n+1

2(1-p2)

，
所求的值为

1

2(1-p2)

[p³+p⁴++p²¹]=

p3(1-p19)

2(1-p)2(1+p)

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，并综合考查了直线与抛物线的关系．