Question

如图，设点A和B为抛物线y²=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析：由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．

解答：解：如图，点A，B在抛物线y²=4px上，
设A(

y2A

4p

，yA)，B(

y2B

4p

，yB)，OA、OB的斜率分别为k_OA、k_OB．
∴kOA=

yA

y2A 4p

=

4p

yA

，kOB=

4p

yB

由OA⊥AB，得kOA•kOB=

16p2

yAyB

=-1①
依点A在AB上，得直线AB方程
(yA+yB)(y-yA)=4p(x-

y2A

4p

)②
由OM⊥AB，得直线OM方程y=

yA+yB

-4p

x③
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以-

x

4p

，
并利用③式整理得

x

4p

y2A+yyA-(x2+y2)=0④
由③、④两式得
-

x

4p

yAyB-(x2+y2)=0
由①式知，y_Ay_B=-16p²
∴x²+y²-4px=0
因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

点评：本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．