Question

22.如图，设点A和B为抛物线（p>0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Answer 1

22.本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能

解：如图，点A，B在抛物线y²=4px上，

设A（），B（），OA、OB的斜率分别为k_OA、k_OB.

 

k_OA=，k_OB＝.　　　　　　　           　　　　　　　　　　　　　　

 

由OA⊥OB，得k_OA·k_OB＝，         ①　      

 

依点A在AB上，得直线AB方程

.           　　 ②     

由OM⊥AB，得直线OM方程　y=.    ③　 　　

设点M（x，y），则x，y满足②③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式整理得

.            　　　 ④　　

由③④两式得　，

由①式知，，

∴.

因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0.所以点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.