Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点T（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，若l₁与抛物线交与P、Q，若l₂与抛物线交与M、N，l₁的斜率为k．某同学正确地已求出了弦PQ的中点为(

p

k2

+p，

p

k

)，请写出弦MN的中点

 

．

Answer 1

分析：由题意写出直线的方程，联立消元，利用根系关系解出两根之和，再利用中点坐标公式解出弦MN中点的坐标．

解答：解：由已知l₁的斜率为k，互相垂直的直线l₁，l₂，
设直线l₂：y=-

1

k

（x-p），代入y²=2px，消去y得x²-2（p+pk²）x+p²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系关系x₁+x₂=2（p+pk²），y₁+y₂═-

1

k

（x₁-p）-

1

k

（x₂-p）=-2pk，
则MN的中点坐标为（pk²+p，-pk）．
故应填（pk²+p，-pk）．

点评：考查两直线垂直的条件，直线与圆锥曲线位置关系，一元二次方程的根系关系．此类题是直线与圆锥曲线的位置关系中一类常见的题型．