Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”）

（3）设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，是偶函数；当时，是奇函数；当 时，既不是奇函数也不是偶函数；理由见解析；（2）是轴对称图形，；（3）

【解析】

（1）函数，表示出，根据奇函数与偶函数的定义，即可求得的值。

（2）根据函数关于直线成轴对称图形，可得恒成立，代入函数解析式即可求得的值，即可得对称轴方程。

（3）根据函数与的图像有且只有一个公共点，即只有一个实数根。将方程化简，根据换元法转化为一元二次方程问题，再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题，即可求得实数的取值范围。

（1）函数

所以

若函数为偶函数，则，即

化简可得 ，对任意实数成立，所以

若函数为奇函数，则，即

化简可得 ，对任意实数成立，所以

综上所述，当时为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数

（2）函数的图像关于直线成轴对称图形

则为函数向左平移个单位得到的图像，因而关于y轴对称，即为偶函数

所以恒成立

函数

所以

化简可得

因为对于任意实数成立

所以，解得

所以函数是轴对称图形，对称轴为直线

（3）因为

则

函数，且函数与的图像有且只有一个公共点，

所以

化简可得

因为只有一个公共点，所以方程只有一个实数根

令

则方程化为由且只有一个正根

①当时，，不合题意，舍去

②当时，

若，则

解得

当时，代入方程可得，解得，符合题意

当时，代入方程可得，解得，不合题意

若，则

解得

由题意可知，方程有一个正根与一个负根，即

解得

综上所述，实数的取值范围为