Question

设函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

分析：（I ）由函数为奇函数可得f（0）=0，代入可求a的值
（II）利用函数单调性的定义，任设x₁＜x₂，则需要判断f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

的符号，从而可判断函数的单调性

解答：解：（I）由题意可得函数的定义域为R
∵f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数 
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•2⁰+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）得f（x）=

2x-1

2x+1

在R上单调递增

点评：本题考察了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点