Question

某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，设一年的总运费与总存储费用之和为y．
（1）列出y与x的函数表达式；
（2）问x为何值时，y有最小值？并求出其最小值；
（3）若该公司考虑到本公司实际情况，每次购买量都不超过16吨（即x≤16），问x为何值时，y有最小值？

Answer 1

分析：（1）由于某公司每次都购买x吨，一年购买某种货物400吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，即可列出y与x的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数关系，利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可；
（3）根据每次购买量都不超过16吨，利用函数单调性的定义确定函数的单调性，运用函数的单调性即可求得答案．

解答：解：（1）∵每次都购买x吨，一年购买某种货物400吨，
∴需要购买

400

x

次，
∴一年的总运费为4×

400

x

=

1600

x

万元，且一年的总存储费用为4x万元，
∵一年的总运费与总存储费用之和为y，
故y与x的函数表达式为y=

1600

x

+4x（x＞0）；
（2）由（1）可知，y=

1600

x

+4x，
∵x＞0，
则由基本不等式可得，y=

1600

x

+4x≥2

1600 x •4x

=160，
当且仅当4x=

1600

x

，即x=20时取“=”，
∴y_min=160，
∴每次都购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和y的最小值为160万元；
（3）由题意可知，0＜x≤16，
令f（x）=

1600

x

+4x，（0＜x≤16）
设x₁＜x₂≤16，则f(x2)-f(x1)=(

1600

x2

+4x2)-(

1600

x1

+4x1)=

4(x2-x1)(x1x2-400)

x1 x2

，
∵x₁＜x₂≤16，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-400＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故f（x）=

1600

x

+4x在（0，16]上为单调递减函数，
∴当x=16时，f（x）取得最小值为y_min=164，
故每次都购买16吨时，一年的总运费与总存储费用之和y的最小值为164万元．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立数学模型求最值时，第（2）题运用了基本不等式求最值，第（3）题运用了函数的单调性求最值．属于中档题．