Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0).

(1)若a>b>c,且f(1)=0,是否存在m∈R,使得f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数?若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.

(2)若对x₁,x₂∈R,且x₁<x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=[f(x₁)+f(x₂)]有2个不等实根,证明必有一个根属于(x₁,x₂).

(3)若f(0)=0,是否存在b的值使{x|f(x)=x}={x|f(f(x))=x}成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由.

Answer 1

 (1)因为f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,

所以a>0且c<0.

因为f(1)=0,所以1是f(x)=0的一个根,

由根与系数的关系知另一根为.

因为a>0且c<0,所以<0<1.又a>b>c,b=-a-c,所以-2<<-.

假设存在这样的m,由题意,则

a(m-1)=-a<0,所以<m<1.

所以m+3>+3>-2+3=1.

因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,

所以f(m+3)>f(1)=0,

即存在这样的m使f(m+3)>0.

(2)令g(x)=f(x)-[f(x₁)+f(x₂)],

则g(x)是二次函数.

因为g(x₁)·g(x₂)

=

=-[f(x₁)-f(x₂)]²≤0,

又因为f(x₁)≠f(x₂),g(x₁)·g(x₂)<0,

所以g(x)=0有两个不等实根,且方程g(x)=0的根必有一个属于(x₁,x₂).

(3)由f(0)=0得c=0,所以f(x)=ax²+bx.

由f(x)=x,得方程ax²+(b-1)x=0,

解得x₁=0,x₂=,

又由f(f(x))=x得af²(x)+bf(x)=x.

所以a[f(x)-x+x]²+b[f(x)-x+x]=x.

所以a[f(x)-x]²+2ax[f(x)-x]+ax²+b[f(x)-x]+bx-x=0.

所以[f(x)-x][af(x)-ax+2ax+b+1]=0,

即[f(x)-x][a²x²+a(b+1)x+b+1]=0.

所以f(x)-x=0或a²x²+a(b+1)x+b+1=0.(*)

由题意(*)式的解为0或或无解,

当(*)式的解为0时,可解得b=-1,

经检验符合题意;

当(*)式的解为时,可解得b=3,

经检验符合题意;

当(*)式无解时,Δ=a²(b+1)²-4a²(b+1)<0,

即a²(b+1)(b-3)<0,

所以-1<b<3.

综上可知,当-1≤b≤3时满足题意.