Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|，
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆(x+1)²+(y-)²=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）设，
因为，所以，
整理得，
得（舍）或，所以。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，
直线PF₂的方程为，
A，B两点的坐标满足方程组，
消去y并整理，得，解得，
得方程组的解，
不妨设，
所以，
于是，
圆心到直线PF₂的距离，
因为，所以，
整理得，得（舍）或c=2，
所以椭圆方程为。