Question

【题目】已知函数，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，曲线恒在曲线的下方；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，即需证，不妨设， 则，利用导数证明取得最大值即可得结果；(3)由题意可知，可得不等式可转化为，构造函数，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明的最大值小于零，从而可得结论.

（1），，

故切线方程是.

(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，

即需证，

不妨设， 则，

，

令，恒成立，^

在单调递减，v

又时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

即当时，取得最大值，

当时，，即，

当时，曲线恒在曲线的下方，

(3)由题意可知，

不等式可转化为，

构造函数，

，

在二次函数中，开口向下，对称轴，

且过定点，解得，

得(舍去），.

①当时，即 (舍去）或，

此时当时，； 时,；

当时，取得最大值，

记为，

由得，

，

而，

当时，，即在上递减，

当时，，即在上递增，

在处取得最小值，

只有符合条件，此时解得 ，不合条件，舍去;

②当时，解得，

当时，在时取得最大值，

即当时，恒成立，原不等式恒成立；

③当时，解得，

当时，，

在时取得最大值，记为，

由（2)可知的图象与的图象相同，

当时，，原不等式恒成立；

综上所述，实数的取值范围是.