Question

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证OD∥平面PAB；

(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

(Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

18.解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC的中点，

      ∴OD∥PA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

又PA平面PAB，   

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC

      ∴OA=OB=OC

又∴OP⊥平面ABC，

∴PA=PB=PC。

取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE。

作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC。∠ODF是OD与平面PBC所成的角。

又OD∥PA，

∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF。

在Rt△ODF中，

sin∠ODF=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin。     

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF⊥平面PBC，

     ∴F是O在平面PBC内的射影。

     ∵D是PC的中点

     若点F是△PBC的重心。

     则B、F、D三点共线，

     ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。

     ∵OB⊥PC，

∴PC⊥BD，

∴PB=BC，即k=1

反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心

方法二：

∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），

设AB=a，则A（a,0,0），B（0，a，0），C（－a，0，0）。

设OP=h，则P（0，0，h）。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）∵D为PC的中点，

∴＝（－，0，）

      又，

      ∴

      ∴∥。

      ∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵k=，即PA=2a

      ∴h=,

      ∴=(),

      可求得平面PBC的法向量=（1，－1，－），

      ∴cos<,>==

      设PA与平面PBC所成的角为θ

      则sinθ=|cos<,>|=,

      ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin

（Ⅲ）△PBC的重心G（－a，a，h），

    ∴=（－a，a，h）

     ∵OG⊥平面PBC，

     ∴⊥

   又=（0，a，－h）

   ∴·=a²－h²=0

   ∴h=a.

   ∴PA==a，即k=1.

反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥,

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心。