Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=

1

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

，

z1+z2+z3

3

)．）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用线面角公式sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

即可得出；
（Ⅲ）不妨设OB=2，则分别表示出点A、B、C的坐标，再利用AB=BC=2

2

=kPA即可表示出点P的坐标，利用重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标，若满足O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC，利用向量的数量积与垂直的关系即可得出k的值．

解答：（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．
当k=

1

2

时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2

2

，∴AP=4

2

，
∴OP=

(4 2 )2-22

=2

7

．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2

7

），
∴

PA

=(0，-2，-2

7

)，

BC

=(-2，2，0)，

PB

=(2，0，-2

7

)．
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BC =0 n • PB =0

即

-2x+2y=0 2x-2 7 z=0

令z=1，则x=

7

=y．∴

n

=(

7

，

7

，1)．
设直线PA与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

=

210

30

．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

210

30

．
（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC=2

2

=kPA，∴AP=

2 2

k

，可得OP=

( 2 2 k )2-22

=

2 2-k2

k

．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，

2 2-k2

k

），

BC

=(-2，2，0)，

PB

=(2，0，-

2 2-k2

k

)．
设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G(

2

3

，

2

3

，

2 2-k2

3k

)．
假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．
∴

OG • BC =0 OG • PB =0

，即

-4 3 + 4 3 =0 4 3 - 8-4k2 3k2 =0

，又k＞0，解得k=1．
∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、线面角公式sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

、通过建立空间直角坐标系及重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标、线面垂直的性质定理、向量的数量积与垂直的关系是解题的关键．