Question

（2012•莆田模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB=1．
（1）现给出三个条件：①PB=

3

；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC．试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）选取条件：①PB=

3

，证明∠PAB=90°，根据PA⊥AC，可证PA⊥平面ABC；
（2）利用VP-ABC=

1

3

PA×S△ABC，即可得到结论．

解答：解：（1）选取条件：①PB=

3

，证明如下：
在等腰直角△ABC中，∵AB=1，∴BC=1，AC=

2

∵PA=AC，∴PA=

2

在△PAB中，AB=1，PA=

2

，PB=

3

∴AB²+PA²=PB²
∴∠PAB=90°
∴PA⊥AC
∵AB∩AC=A，PA⊥AB
∴PA⊥平面ABC；
（2）由（1）知，PA⊥平面ABC
∴VP-ABC=

1

3

PA×S△ABC=

1

3

×

2

×

1

2

×12=

2

6

．

点评：本题主要考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查三棱锥的体积，考查空间想象能力，属于中档题．