Question

9．（1）若x，y满足|x-3y|＜$\frac{1}{2}$，|x+2y|＜$\frac{1}{6}$，求证：|x|＜$\frac{3}{10}$；
（2）求证：x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的性质即可证明；
（2）作差比较即可．

解答 证明：（1）利用绝对值不等式的性质得：
|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（2）因为x⁴+16y⁴-（2x³y+8xy³）=x⁴-2x³y+16y⁴-8xy³=x³（x-2y）+8y³（2y-x）
=（x-2y）（x³-8y³）=（x-2y）（x-2y）（x²+2xy+4y²）
=（x-2y）²[（x+y）²+3y²]≥0，
所以x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，作差法证明不等式，属于中档题．