Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点在抛物线x²=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，求△MON的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的准线方程，由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，利用椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，（m≠0），代入椭圆方程，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MON的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在x轴上，
抛物线x²=4y的准线，y=-1，由椭圆的顶点在抛物线的准线上，则b=1，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
则x₁+x₂=-$\frac{8km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
点O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△MON=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×d=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
∵k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴4k²=2m²-1，
∴S_△MON=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）}$=1．
∴△MON的面积1．

点评 本题考查椭圆方程、三角形面积的求法，考查韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、直线方程、椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、属于中档题．